Trigonometria

Trigonometria no Círculo

- Arco da circunferência – é um segmento qualquer da circunferência limitado por dois pontos.

- Ângulo Central – È aquele cujo vértice está no centro da circunferência. O ângulo central e o arco determinado por ele têm a mesma medida.

- Unidades de um arco

 –  Grau ( o ) – dividimos a circunferência em 360 partes iguais e a cada arco unitário, que corresponde a 1 / 360 da circunferência chamamos de grau. Então, a circunferência mede 360 graus, que indicamos por 360º. Os submúltiplos do grau são o minuto ( ‘) e o segundo ( “ ). 1º = 60’ 1’ = 60”

Radiano ( rad ) – é um arco unitário cujo comprimento é igual ao comprimento do raio de circunferência no qual esta contido.Uma circunferência possui como medida 2II radianos ( 2II rad )

- Conversão entre as unidades – para fazer a conversão entre as unidades, podemos utilizar a relação :

 180o ______ II rad

Exemplos:

a) Para converter 120o e radianos, montamos a regra de três

Ciclo Trigonométrico

 É uma circunferência orientada a qual associamos um sistema de eixos cartesianos , cuja origem coincide com o centro da circunferência, que possui como raio a unidade de medida dos eixos.

- Localização da extremidade de um arco no ciclo trigonométrico – os eixos cartesianos dividem o ciclo trigonométrico em quatro arcos, cada qual contido em um quadrante.

 - Arcos côngruos – dois arcos são congruentes ou côngruos, quando possuem a mesma extremidade.Para encontramos o arco côngruo basta dividir por 360º para encontrar o número de voltas. O resto da divisão é a medida do arco de mesma extremidade.

Trigonometria - 17 - 25/ago/2009

Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo

- Num triângulo retângulo, podemos definir razões entre os ângulos agudos e as medidas dos catetos e da hipotenusa.

- Chamamos de catetos os dois lados do triângulo que formam o ângulo reto.

 - A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto.

Vamos considerar o triângulo ABC da figura:

Cateto oposto – é o lado do triângulo retângulo que esta na frente do ângulo agudo.
Cateto adjacente - é o lado do triângulo retângulo que compõe o ângulo agudo.

- Tomando como base o triângulo acima, podemos definir as seguintes razões trigonométricas :
Seno do ângulo agudo – é a razão entre o cateto oposto a esse ângulo agudo e a hipotenusa.
Cosseno do ângulo agudo – é a razão entre o cateto adjacente a esse ângulo agudo e a hipotenusa.
Tangente do ângulo agudo - é a razão entre o cateto oposto a esse ângulo agudo e o cateto adjacente.

1) Calcular o seno, cosseno e tangente do ângulo :

Ângulos Notáveis- As razões trigonométricas dos ângulos de 30º, 45º e 60º aparecerem freqüentemente nos problemas. Por isso, vamos apresentar essas razões na forma fracionária.
             30º    45º     60º

- Os valores aproximados dos ângulos de 1º a 89º são encontrados numa tabela.

Problemas com Razões Trigonométricas

1) Quando o ângulo de elevação do sol é de 65º, a sombra de um edifício mede 18 m. Calcule a altura do edifício.
sen 65º =0,9063 cos 65º = 0,4228 tg 65º = 2,1445

2) Quando o ângulo de elevação do sol é 60º, a sombra de uma árvore mede 15 m. Calcule a altura da árvore, considere .

3) Uma escada encostada em um edifício tem seus pés afastados a 50 m do edifício, formando assim, com o plano horizontal, um ângulo de 32º. A altura do edifício é aproximadamente:
sen 32º = 0,5299 Cos 32º = 0,8480 tg 32º = 0,6249

4) Um avião levanta vôo sob um ângulo de 30º. Depois de percorrer 8 km, o avião se encontra a uma altura de:

5) Sabendo-se que o lado de um triângulo eqüilátero mede 8 cm, calcule a medida da altura do triângulo.

6) A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 8 cm e um de seus ângulos mede 60º. Calcule a medida do cateto adjacente ao ângulo dado.
 

7) Um satélite sobrevoa uma cidade A no instante em que um observatório, situado horizontalmente a 300 km dessa cidade, o avista sob um ângulo de 64° em relação à horizontal. A que altura se encontra o satélite?sen 64º = 0,8988 Cos 64º = 0,4384 tg 64º= 0,6249

8) A fim de medir a largura de um rio, sem atravessa-lo, uma pessoa fixa um ponto A situado a 2 m da margem, e um ponto B na outra margem. Depois, desloca-se pela beira do rio e marca um ponto C, tal que AB ^ AC e A B = 35º.Qual a lagura do rio se AC = 20 m?

sen 35º = 0,5736 Cos 35º = 0,8192 tg 35º= 0,7002

9) A figura representa um teleférico que será construído para transportar pessoas do ponto P até uma altura de 100 metros em relação ao solo. Sabendose que o cabo ficará perfeitamente reto e esticado e que a velocidade das cadeiras ao longo do cabo será constante e igual a 1 metro por segundo, o tempo de desloca me nto do ponto P até o ponto ma is alto será, aproximadamente, igual a:

a) 1 minuto e 40 segundos
b) 2 minutos e 10 segundos
c)2 minutos e 50 segundos
d) 3 minutos e 20 segundos

Geometria Analitica - Equação Reduzida da Circunferência

Geometria Analitica - Distancia entre Ponto e Reta

Geometria Analitica - Coeficiente Angular da Reta

Geometria Analitica - Ponto Médio de um Segmento

Geometria Analitica - Área de um Triângulo

Geometria Analitica - Equação Reduzida da Reta

Geometria Analitica

Geometria Analitica - A Equação Geral da Reta

Geometria Analitica - Condição de Alinhamento de Três Pontos

Geometria analitica - Distância Entre Dois Pontos

Geometria Analitica - Introdução

A Geometria Analítica tem por objetivo conciliar os fatos geométricos com as relações algébricas.Plano Cartesiano

- O par ordenado é conjunto numérico formado por dois números que se apresentam em uma determinada ordem (x,y), O 1o elemento representado por x é chamado de abscissa, o 2o elemento representado por y é chamada de ordenada.

- É do nosso conhecimento a relação entre um ponto do plano e um par ordenado de números reais, para designar esse fato, escrevemos P(x,y).

- Dois eixos orientados são dispostos ortogonalmente, dando origem à divisão do plano em quatro partes, cada uma das quais denominada quadrante.Os quatro quadrantes são numerados no sentido anti-horário, e os eixos e a interseção, são denominados respectivamente, eixo das abscissas ( x ), eixo das ordenadas ( y ) e origem ( O ) do sistema de coordenadas.

 2o Q ( - ,+ )                                            1o Q ( + ,+ )  



3o Q ( -, - )                                              4o Q ( + , - )

Dado um ponto P num plano, temos:
 1o Q     Xp > 0 e Yp > 0P
 2o Q     Xp < 0 e Yp > 0P 
3o Q      Xp < 0 e Yp < 0P
4o Q      Xp > 0 e Yp < 0P
OX        Yp = 0 
OY        Xp = 0

1)Localize no sistema cartesiano ortogonal, os pontos seguintes:
A( 3, 2 ); B( 0, -3 ); C( -2, 3 ); D( 3, 0 ); E( -3, -2 ); F( -2, 0 ); G( 4, -2 ); H( 2, 0 ) y x

2) Indique o quadrante a que pertence cada ponto:
A( -3, -1 ) E( -1/3, -1/2 ) B( -1/2, 2 ) F( -1/3, 1/4 )C( Ö2, Ö3 ) G( 17, 28 )D( 3/2, 1 ) H( 30, -17 )

3) Determine o valor de m para que os pontos pertençam ao eixo das abscissas:
a) P( 7, 2m + 1 )
b) P( 4, 3m – 6 )c) P( 2m, 4 – 2m )

4) Determine o valor de p para que os pontos pertençam ao eixo das ordenadas:
a) P( 2p, 4 )
b) P( 3p – 1, -3 )
c) P( 4p + 2, 3p – 1 )

5) Determine o valor de k para que os pontos pertençam a bissetriz dos quadrantes impares:
a) P( 5, 2k – 3 )
b) P( 4k + 2, 6 )
c) P( 3k + 1, 2k + 6 )
d) P( 4k -1, 2k – 3 )

6) Dado o ponto P( 8m + 2, 4m + 10 ), pertencente a bissetriz dos quadrantes pares, obtenha:
a) o valor de m
b) as coordenadas de P

7) Para que os valores de m e k o ponto P( 3m – 6, 10 – 2k ) pertence ao terceiro quadrante?

Juros Compostos

- O regime de capitalização mais usado nas transações comerciais, os juros do 1º período são calculados em função do capital inicial e incorporados a ele formam o novo capital para o cálculo dos juros do 2º período e assim por diante.
- De modo geral, um capital C, a juros compostos a uma taxa fixa i, durante n períodos, produz:a  ao final do n-ésimo :  M = C ( 1 + i )n
Exemplo:
1) Foi aplicado R$ 400,00 num investimento que rende 2% am, a juros compostos. O montante, ao final de 3 meses, é:
M = ?                      M3 = 400 ( 1 + 0,02 )3 = 400 . 1,023 = 400 .1,061208 = 424,48
J = ?
C = 400
Como M = C + J, então : j = M – C     j = 424,48 – 400 = 24,48
i = 2% am = 0,02
n = 3 meses

1) Qual o montante produzido, a juros compostos, por R$ 600,00 em 4 meses à taxa de 3% ao mês?

2) Joana aplicou R$ 400,00 num investimento que rende 2% a. m., a juros compostos.

a) O montante ao final de 6 meses é dado por:

b) O montante ao final de 1 ano é dado por:

3) No dia 1o de junho, Cristiano abriu uma caderneta de poupança no valor de R$ 200,00. Neste mês a taxa da poupança foi de 1,2% e em julho foi de 1,4%. Qual será o saldo em agosto?

4) Aplicou-se a juros compostos um capital de R$ 1.200,00 a 4% ao mês durante 3 meses. Calcule o juros e o montante.

5) Um capital de R$ 600,00 foi colocado a juros compostos durante 3 meses. Determine o montante final sabendo que nos dois primeiros meses a taxa foi de 5% ao mês e 4% no mês seguinte.

6) Um capital de R$ 2.000,00 rende juros compostos de 10% ao mês durante 2 meses. Qual o valor dos juros?

7) Um capital de R$ 500,00 é aplicado , a juros compostos durante 4 meses, à taxa de 20% a.m.. Qual o montante obtido?

8) Um capital de R$ 56,00 é aplicado , a juros compostos durante 2 anos e meio, à taxa de 4% a.m.. Qual o valor resultante dessa aplicação?

9) Um capital de R$ 800,00 é aplicado, a juros compostos por 3 meses, à taxa de 14% ao mês. Qual o montante?

10) A quantia de R$ 650,00 foi aplicado em uma caderneta de poupança cujo rendimento é de 1,5% ao mês. Qual será o saldo final, se o período de investimento for de:

a) 2 meses

b) 4 meses 

Juros Simples

- Quando se deposita ou se empresta uma certa quantia, denominada capital, por um certo tempo, recebe-se como compensação outra quantia, chamada juros.
Representação: Capital ____ C ( quantia empregada )
Taxa _____ i ( porcentagem envolvida )
Tempo ____ t ( período do empréstimo )
Juros _____ J ( a renda obtida )

- Fórmula para o calculo de Juros Simples – os problemas sobre juros simples podem ser resolvidos por meio de uma regra de três composta. Na prática, são resolvidos através de uma fórmula.
J = C.i..t

OBS: a fórmula somente é válida quando a taxa e o tempo estiverem numa mesma unidade.
Taxa anual ( aa ) ___________ tempo em anos
Taxa mensal ( am ) _________ tempo em meses
Taxa em diária ( ad ) ________ tempo em dias
Exemplo:
1) Calcular os juros produzidos por um capital de R$ 5.000,00 empregado à taxa de 90% ao ano, durante 2 anos.
J = ?                                           j = 5000 . 90 . 2  /100    
C = 5000
i = 90% aa
j = 9000
t = 2 anos

OBS: se somarmos o capital ao juros, vamos obter o montante do período. M = c + j

2) Calcular os juros produzidos por um capital de R$ 10.000,00 empregado à taxa de 3% ao mês, durante um ano.
J = ?                                                        j = 10000 . 3 . 12 / 100
C = 10000
i = 3% am
j = 3600
t = 1 ano = 12 meses

3) Qual o capital que, em 4 meses, rendeu R$ 11.520,00 de juros à taxa de 96% ao ano?
J = 11520                                                 11520 = c . 8 . 4 /100                              
C = ?
i = 96% aa = 8% aa                                     c = 1152000
t = 4 meses

4) Durante quanto tempo ficou empregado um capital de R$ 45.000,00, que rendeu R$ 8.100,00 de juros, à taxa de 2% ao mês.
J = 8100                                         8100 = 45000 . 2 . t /100                      t = 9
C = 45000
i = 2% am
t = ?
OBS : Montante (M) = Capital (C) + Juros (J)

1) Calcule os juros produzidos por:
a) R$ 30.000,00, durante 2 anos, a uma taxa de 60% ao ano.
b) R$ 7.000,00, durante 3 anos, a uma taxa de 80% ao ano.
c) R$ 900,00, durante 5 meses, a uma taxa de 9% ao mês.
d) R$ 50.000,00, durante 8 meses, a uma taxa de 72% ao ano.
e) R$ 18.000,00, durante 1 anos, a uma taxa de 7,5% ao mês.
f) R$ 36.000,00, durante 60 dias, a uma taxa de 8% ao mês.

2) Qual o capital que deve ser aplicado:
a) à taxa de 3% ao mês, para render R$ 6.000,00 em 4 meses?
b) à taxa de 324% ao ano, para render R$ 57.600,00 em 2 anos?
c) à taxa de 7,5% ao mês, para render R$ 3.750,00 em 2 meses?

3) Em quanto tempo:
a) R$ 50.000,00, à taxa de 40% ao ano, produzirá R$ 40.000,00 de juros ?
b) R$ 15.000,00, à taxa de 8% ao mês, produzirá R$ 3.600,00 de juros ?
c) R$ 25.000,00, à taxa de 30% ao ano, produzirá R$ 15.000,00 de juros ?

4) A que taxa deve ser aplicado o capital de:
a) R$ 5.000,00 para render R$ 800,00 em 2 meses?
b) R$ 80.000,00 para render R$ 28.000,00 em 5 meses?
c) R$ 42.000,00 para render R$ 30.240,00 em 1 ano?

5) Uma pessoa toma emprestado de um banco R$ 500.000,00 e, após 8 meses, paga o montante de R$ 980.000,00. A taxa de empréstimo foi de:

6) Uma pessoa tomou um empréstimo de R$ 100.000,00 à taxa de 10% ao mês. Após pagar, pontualmente, duas prestações mensais de R$ 20.000,00, quanto estará devendo?

7) Um aplicador ganhou R$ 2.100,00 a juros simples, no final de 7 meses, à taxa de 24% ao ano. Calcule o capital aplicado.

8) Uma pessoa tem R$ 10.000,00 aplicados a juros simples. A taxa é de 36% ao ano. Calcule o tempo necessário para que o montante seja de R$ 30.000,00

9) O preço a vista de um automóvel é de R$ 25.000,00. Uma pessoa deseja compra-lo e só dispõe de 30% para entrada, financiando os 70% em 18 meses. Determine o valor de cada prestação, sabendo que a taxa de juros simples é de 30% ao ano. ( Despreze os centavos no calculo).

10) Uma conta no valor de R$ 69,94 deve ser paga no dia 15 de determinado mês. Havendo atraso será cobrada uma multa de 10% sobre o valor da conta e juros de 1% ao mês. Sabendo que houve atraso de 4 dias, qual o novo valor a ser pago ?

Porcentagem

- Razão Centesimal – são as razões cujos conseqüentes são iguais a 100.
Exemplo:
a) 7 / 100  b) 5 / 100  c) 15 / 100

- Porcentagem – é uma razão centesimal representada pelo símbolo % ( por cento ).
Exemplo:
 a) 7 / 100 = 7%     b) 5 / 100 = 5%       c) 15 / 100 = 15%

Essa forma de representação (7%, 5%,15%, etc) chama-se taxa porcentual.

1) Escreva na forma centesimal:
a) 3%
b) 52%
c) 8%
d) 89%
e) 34%
f) 130%

2) Escreva as razões na forma de taxa porcentual:
a) 1 /100
b) 100 /100
c) 9 /100
d) 143 /100
e) 35 /100
f) 387 /100

3) Escreva as razões na forma de taxa porcentual:
a) 1 / 4 =
b) 9 / 25 = 
c) 3 / 5 =
d) 17 / 10 = 
e) 7 / 10 =
f) 7 / 2= 
g) 1 / 50 =
h) 5 / 4 =

4) Numa caixa há 50 cartões: 9 brancos, 18 amarelos, 23 vermelhos.
a)Qual a taxa porcentual dos cartões brancos?
b)Qual a taxa porcentual dos cartões amarelos?
c)Qual a taxa porcentual dos cartões vermelhos?

5) Numa pesquisa sobre preferência de cores, foram entrevistados 50 pessoas e o resultado obtido foi o seguinte:
cor          nº de pessoas
Azul             11
Branco           9
Preto              1
Verde           10
Amarelo       14
vermelho        5
Qual a taxa porcentual de cada cor pesquisada?

- Problemas de Porcentagem – são resolvidos através de regra de três simples.
Exemplo: Calcular 20% de 700
700 _____ 100%
    x _____ 20%
100x = 20. 700
100x = 14000
x = 140
 
6) Calcule as porcentagens:
a) 3% de 400
b)18% de 8600
c) 35% de 42000
d)100% de 4520
e) 0,5 % de 150000
f)1% de 3000
g)120% de 6200
h) 3,2% de 6000
i) 12,5 de 18000
j) 1,2 de 40000
 

7) Numa escola de 900 alunos, 42% são rapazes. Calcule o número de rapazes.

 

 8) Sobre um ordenado de R$ 380,00 são descontados 8% para o INSS. De quanto é o total de desconto?

 

 9) Comprei uma bicicleta por R$ 500,00. Revendi com um lucro de 15%. Quanto ganhei?

 

 11) Uma caneta custava R$ 0,60 sofreu um desconto de 5%. Quanto pagará por essa caneta?

 

 12) Por quanto deverei vender um objeto que me custou R$ 72,00 para lucrar 30%?

 

 13) Numa classe foram reprovados 15% dos alunos, isto é, 9 alunos. Quantos alunos havia na classe?

 

14) Comprei um carro por R$ 23.000,00 e revendi com um lucro de R$ 1.610.00. Qual foi a taxa de lucro?

 

15) Um comerciante recebeu um desconto de R$ 1.312,00 numa compra cujo valor era de R$ 82.000,00. Calcule a taxa de desconto.

 

16) As tarifas de ônibus foram majoradas, passando de R$ 1,60 para R$ 2,16. Qual a taxa de aumento?

 

17) Oito por cento dos vencimentos de um operário equivalem a R$ 33,60. Calcule o total dos vencimentos?

 

 18) Meu irmão ganhava R$ 320,00. Seu patrão lhe deu um aumento de 42%. Quanto ganha atualmente?

 

 19) Uma industria tem 85% dos seus empregados brasileiros e 60 estrangeiros. Calcule o número total e empregados.

 

 20) Numa prova de 40 questões, que errou 6 questões acertou quantos por cento?

 

 21) Para a venda de uma geladeira, o cartaz anuncia: R$ 367,20 x 4 ou R$ 1.080,00 a vista. Quem comprar a prazo, pagará a mais, quantos por cento do preço a vista?

 

22) No dia 1o de dezembro um lojista aumenta em 20% o preço de um artigo que custava R$ 300,00. Na liquidação após o Natal o mesmo artigo sofre um desconto de 20%. Seu preço de na liquidação é:

Proporção

– Proporção é a igualdade entre duas razões.
Exemplo: 3/4 = 6/8 Lê-se 3 está para 4, assim como 6 está para 8.
Essa proporção é indicada também por 3 : 4 = 6 : 8
· O primeiro e o quarto termo chamam-se extremos.
· O segundo e o terceiro termo chamam-se meios.
- Propriedade Fundamental das Proporções – em uma proporção o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.Exemplo: 3 x 8 = 24 4 x 6 = 24

Calcule o valor de x nas proporções:
a) x / 5 = 6 / 10
b) 6 / x = 14 / 35
c) 2x / 3 = 8 / 6
d) x - 12 / 12 = x / 20
e) x + 1 / 5 = x / 3
f) x + 3 / x - 2 = 3 / 2

Razão

– A razão de dois números é o quociente do primeiro pelo segundo.
Exemplo:
a) a razão de 5 para 10 é 5 / 10, que é igual a 1 / 2.
b) a razão de 10 para 5 é 10 / 5, que é igual a 2.
c) a razão de 1 e 9 é 1 / 9.
d) a razão de 4 e 16 é 1 / 4.
e) a razão de 100 e 48 é 25 /12.
f) a razão de 2 semanas para 5 dias é 14 / 5.
g) a razão de 1 ano para 3 meses é 12 / 3 = 4
h) a razão de 1 minuto para 24 segundos.

· O primeiro termo é chamados de antecedende
. O segundo termo é chamado de conseqüente.

1) Determine a razão do primeiro para o segundo número:
a) 1/2 e 7
b) 5 e 1/2
c) 2/5 e 4/5
d) 5/8 e 7/9
e) 0,1 e 4/7
f) 1/3 e 1/2

2) Escreva, na forma irredutível, a razão do primeiro para o segundo:
a) 4 e 16
b) 16 e 4
c) 38 e 19
d) 19 e 38
e) 100 e 48
f) 100 e 120